Saiba tudo sobre a técnica de completar quadrados

A técnica de completar quadrados é uma das várias formas de solucionar uma equação de segundo grau. Assim, ao utilizá-la em uma equação de segundo grau genérica, podemos encontrar a fórmula de Bhaskara.

Todavia, essa técnica consiste em reescrever equações de segundo grau. Desse modo, sua resolução se torna mais simplificada e intuitiva. As equações de segundo grau não são tão simples de solucionar. Hoje em dia temos muitos métodos para isso, mas os antigos matemáticos faziam na mão.

O poder da técnica de completar quadrados vai além da equação de segundo grau. Assim, ela pode corroborar para o bom entendimento de sistemas mais complexos. No caso, é bastante comum aplicá-la quando trabalhamos com equações diferenciais.

De fato, uma das formas de solucionar equações diferenciais é por meio desta técnica. Mas devemos lembrar que não vemos tais equações no ensino médio, apenas no ensino superior. Ademais, aqueles que forem fazer faculdade de exatas terão de encarar este desafio.

Embora possa parecer complexo à primeira vista, pode-se dominar esta técnica com alguns exercícios. Assim ela nada mais é do que uma “receita de bolo”, como gostamos de chamar. Na verdade, a matemática é cheia dessas receitinhas às quais chamamos de fórmulas.

técnica de completar quadrados

Dedução da fórmula de Bhaskara

Como primeiro exercício, vamos apresentar a dedução da fórmula de Bhaskara. Assim podemos comprovar o poder da técnica de completar quadrados diretamente.

Vamos supor uma equação de segundo grau genérica, dada na forma ax² + bx + c = 0.

Agora vamos dividir todo mundo por a, restando x² + b/a x + c/a = 0.

Observe que (x + b/2a)² = x² + b/a x + b²/a². Desse modo, podemos fazer as seguintes modificações:

x² + b/a x + c/a = 0

x² + b/a x = – c/a

(x + b/2a)² = + b²/4a² – c/a

(x + b/2a)² = b²/4a² – 4ac/4a²

(x + b/2a)² = (b² – 4ac)/4a²

x =  +/- (b² – 4ac)¹/²/2a -b/2a

x = [-b +/- (b² – 4ac)¹/²]/2a

Sendo a última linha a fórmula de Bhaskara que aplicamos sempre que vemos uma equação de segundo grau. Mas, afinal, qual o significado dela?

Essa fórmula é muito específica: ela encontra os valores de x que satisfazem corretamente a equação de segundo grau. Mesmo que a equação não seja igual a zero, ela ainda pode ser aplicada. Para tanto,faz-se necessário que arranjemos os termos de acordo com a equação genérica de segundo grau.

É muito importante notar que acrescentamos um termo que faltava para completar o quadrado. No caso, foi acrescentado o b²/4a² em ambos os lados da equação. Desse modo, foi possível simplificar o lado direito em uma notação mais conveniente.

No entanto, outro ponto importante dessa dedução deve ser notado: ela vale para quaisquer valores de a, b e c. Qual o motivo disso? Isso acontece pois não especificamos nenhum valor. Assim nosso resultado é genérico e invariável, sempre sendo solução para nossa equação de segundo grau.

Esse é um dos poderes dessa técnica. Podemos manipular valores abstratos para posterior uso em problemas reais.

Exemplos de uso da técnica de completar quadrados

Q1: Suponha a seguinte equação de segundo grau x² + 10x + 24 = 0. Use a técnica de completar quadrados para encontrar os valores de x dessa equação.

R: Em primeiro lugar, vamos dar uma arrumada nessa equação: x² + 10x = -24. Podemos ver que o primeiro termo é x e o segundo é 5, logo: (x + 5)² = -24 + 25. O valor de 25 foi acrescido para completar o quadrado de (x + 5)², faltando 5².

Desse modo, temos que x + 5 = +/- 1, ou seja, x = -4 ou x = -6. Para confirmar nosso resultado, todavia, podemos substituir os valores encontrados e ver se realmente satisfazem a equação.

Usando x = -4:

(-4)² + (10)(-4) + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

0 = 0 -> Satisfaz a equação, logo está correto.

Usando x = -6:

(-6)² + (10)(-6) + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

0 = 0 -> Satisfaz a equação, logo nossa resposta está correta.

Q2: Vamos supor agora a seguinte equação de segundo grau 4x² + 20x + 25 = 0. Encontre os valores de x que satisfazem a equação de segundo grau.

R: Vamos usar a mesma estratégia que no exercício anterior. Primeiro vamos deixar o x² sem número, e para tanto vamos dividir tudo por 4.

x² + 5x + 25/4 = 0

Podemos observar algo interessante nessa equação, no caso 25/4 = (5/2)². Então:

x² + 5x + (5/2)² = 0

(x + 5/2)² = 0

x = -5/2.

Para confirmar o resultado podemos substituir este valor na nossa equação:

4(-5/2)² + 20(-5/2) + 25 = 0

25 – 50 + 25 = 0

0 = 0 -> Nossa solução está correta.

Sempre que você resolver uma equação, aplique os valores encontrados para ter certeza de que acertou a resposta. Caso seu valor esteja incorreto, ocorrerá algo como 1 = 0 e coisas do tipo.



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