Função do 1 grau: O que é, exemplos e exercícios

Hoje você vai aprender o que é uma função, exemplos de funções, o que é uma função de primeiro grau que é o mesmo que função afim, entre outros tópicos de matemática relacionados a função e equação.

Alguns tópicos que serão abordados são o que é função, função de primeiro grau, como encontrar o zero da função do 1 grau e como determinar uma função a partir de um gráfico. Confira!

O que é Função

Antes de começarmos a estudar a função de 1 º propriamente dita vamos entender o que é uma função. Uma função é uma relação entre dois conjuntos. Considere os números do conjunto A: 1,2,3,4 e 5. Eles podem estar relacionados aos números do conjunto B:2,4,6,8 e 10 através de uma função que pode ser, por exemplo  B = 2 . A. Isso quer dizer que os valores de B é igual a multiplicar os valores de A por 2.

Em uma função é importante saber que existem algumas regras. Qualquer valor do conjunto A pode estar relacionado a um único valor do conjunto B, isso é, um único valor de A não pode estar associado a mais de um valor do conjunto B. Além disso podem existir valores de A para os quais não existam correspondentes em B e podem existir, também, dois ou mais valores distintos de A que estão relacionados a um único valor de B. Veja ambos os casos na prática.

Condições para definir uma função primeiro grau

Caso 1: Um valor de x não tem nenhum correspondente em y

Considere a função y=10/x (y é igual a 10 dividido por x)

Se considerarmos os valores de x:{0,1,2,5} e substituirmos na função y=10/x temos os valores de y:{, 10, 5 ,2 }.

Apenas a critério de exemplo para ficar mais claro:

Com x = 5, temos:

y = 10 / 5

y = 2

E assim para os demais. Como podemos perceber não existe valor de y, isso é representado pelo , quando o valor de x é 0.

Caso 2: Dois valores distintos de x correspondem a um mesmo y

Considere a função y=x^2  (y é igual a x vezes x)

Se considerarmos os valores de x:{1,2, -2} e substituirmos na função y=x^2 temos os valores de y:{1, 4, 4}.

Apenas a critério de exemplo para ficar mais claro:

Com x = 2, temos:

y = 2 . 2

y = 4

Com x = -2, temos:

y = (-2) . (-2)

y = 4

E assim para os demais. Como podemos perceber um único valor de y pode corresponder a um ou mais valor de x.

função do primeiro grau

ATENÇÃO: Para ser uma função não pode existir um único x que esteja relacionado a mais de um y.

Definido o que é função podemos começar a explicar o que é função de primeiro grau.

O que é Função de primeiro grau

O grau da função está relacionado ao maior número em que o x está elevado. Se o x está elevado a um a função é de primeiro grau.

função

No caso mais geral a função de primeiro grau é da forma:

Em uma função de primeiro grau o termo que multiplica  fração o x é denominado coeficiente linear e no caso acima é o a. A letra b é denominada constante.

função

Observando, graficamente, variações de equação de primeiro grau

Se pensarmos em casos gerais e plotamos em um gráfico uma equação de primeiro grau podemos ter quatro possíveis combinações:

  • a é positivo e b é positivo
  • a é positivo e b é negativo
  • a é negativo e b é negativo
  • a é negativo e b é positivo

Confira o gráfico abaixo com os valores de x no eixo horizontal e os valores de y no eixo vertical.

Em vermelho, temos a função do 1ª grau

y = 5x + 10

Em azul, temos a função do 1ª grau

y = 5x – 10

Em verde, temos a função do 1ª grau

y = -5x – 10

Em roxo, temos a função de primeiro grau

y = -5x+ 10 

função 3

Figura 1: Gráficos de funções variando os coeficientes e as constantes.

Como podemos ver os gráficos verdes  e roxo são decrescentes, isso é, com o aumento do valor de x o y decai. Já os gráficos vermelho e azul são crescentes, isso é, o y aumenta se x aumenta. O que torna uma função de primeiro grau crescente ou decrescente é o valor se o valor de a é positivo ou negativo. Lembre-se:

Se a é positivo a função é crescente

Se a é negativo a função é decrescente

O valor de b pode ser utilizado para encontrar o local onde a função intercepta o eixo x. A intersecção da função com o eixo x acontece quando o valor de y é zero. Confira os dois exemplos abaixo para encontrar em qual valor de x existe a intersecção da função com o eixo x. Tal valor é denominado zero da função pois o y assume valor de 0.

Encontrando o zero de uma função de primeiro grau

Exemplo 1: y = 5x + 10

formulla

Note que nesse exemplo a = 5 e b = 10

A condição para encontrar a intersecção é que y = 0

Realiza a subtração do valor de b que é 10 de ambos os lados

Divide ambos os lados pelo valor de a que é 5

Quando x = -2 a função intercepta no eixo x.

Se observar a Figura 1 vai perceber que a função vermelha intercepta o eixo x, horizontal , quando o valor de x = -2.

Exemplo 2:y = -5x + 10

formula

Note que nesse exemplo a = -5 e b = 10

A condição para encontrar a intersecção é que y = 0

Realiza a subtração do valor de b que é 10 de ambos os lados

Divide ambos os lados pelo valor de a que é -5

Quando x = -2 a função intercepta no eixo x.

Se observar a Figura 1 vai perceber que a função roxa intercepta o eixo x, horizontal , quando o valor de x = 2.

Encontrando os valores a e b através de um gráfico

É possível encontrar os valores a e b somente através do gráfico de uma função. Considere o gráfico com duas funções.

Exemplo A – função na cor preta

Existem várias técnicas para encontrar os valores de a e b de uma função do 1 grau. O valor de b é o mais fácil de ser encontrado pois ele é o que quando x = 0, ou seja, a função intercepta o eixo y. Sendo assim o valor de b é 4.

Já para encontrar o valor de a é necessário fazer alguns cálculos. O valor de a representa a inclinação da reta. Quanto maior o valor de a, maior a inclinação. Para encontrar a devemos utilizar valores de dois pontos. Como exemplo vamos utilizar os pontos x = -2 e y = 0, isto é, (-2;0)

4 é o valor que encontramos com b. X = -2 e Y = 0 foram os pontos tomados

Subtraímos o valor de b em ambos os lados da equação

Dividimos pelo valor de x que é -2

Encontramos o valor de a que é 2.

Exemplo B – função na cor vermelha

Como visto no exemplo anterior o valor de b para o caso da função na cor vermelha é 1 pois é o valor de y quando x = 0.

Para encontrar o valor de a escolhemos um ponto qualquer da função na cor vermelha. Vamos escolher o ponto de x = 2 e y = 2, isso é, (2;1)

1 é o valor que encontramos com b. X = 2 e Y = 2 foram os pontos tomados

Subtraímos o valor de b em ambos os lados da equação

Dividimos pelo valor de x que é 2

Encontramos o valor de a que é 0.5

Exercícios

Os exemplos 1 e 2 de encontrando o zero de uma função do 1 grau são casos de como resolver uma equação de primeiro grau, ou seja, encontrar o zero. As explicações ao lado dos exemplos vão te ajudar a resolver os seguintes exercícios de equação de primeiro grau para encontrar o zero:

  1. y = 2x+4
  2. y = 2x-4
  3. y = 3x+6
  4. y = -3x+6
  5. y = -9x-9
  6. y = -9x+18
  7. y = -36x+18
  8. y = 30x-60

Existem ainda exercícios mais elaborados que envolvem um enunciado. Resolva-os à seguir:

  • Tiago era um homem que gostava de pescar. Sempre que pescava um peixe pesava e dizia que pescou um peixe com 3 quilos a mais do que o valor real. Sendo assim, se Tiago disse que pescou um peixe de 10 quilos, qual o peso real do peixe que Tiago pescou?
  • Marina adora andar de bicicleta. Marina pedala uma distância conforme a equação Y = 5. x. O x é o dia da semana. Se é domingo x=1, se segunda, x=2, se terça, x=3 , e assim por diante. Quantos quilômetros Marina pedala no sábado?
  • José é um colecionador de carros. Sempre que vende um carro vende pelo dobro do preço que comprou mais 10.000,00 reais. Se José vendeu um carro por 200.000,00 qual foi o valor que pagou no carro quando comprou?

Encontre os valores de a e b para as funções abaixo:

formula 6



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