Fatoração de Polinômios, por agrupamento, tipos e exercicios

Neste artigo você aprenderá sobre uma ferramenta matemática chamada FATORAÇÃO. A fatoração de modo geral, é usada para decompor uma expressão matemática em vários outros fatores de sua multiplicação, ou seja, a fatoração nada mais é que decompor uma expressão a fim de torná-la simplificada.

De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do grupo. Um caso particular importante é a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática

A seguir traremos algumas regras básicas para fatorar qualquer expressão matemática.

fatoração

Colocar o fator comum em evidência

Esse tipo de fatoração é usado quando existe um fator (número ou letras) que se repete em todos os termos da expressão. Dessa forma, o fator que se repete deve ser sempre colocado na frente dos parênteses da nova expressão e dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo da expressão pelo fator comum. Para ficar mais fácil veja alguns exemplos:

  1. Determine a forma fatorada da expressão/polinômio 14x + 8y – 2z.

A primeira observação que pode ser feita é a de que todos os números dessa expressão podem ser divididos por 2, ou seja, são múltiplos de 2. Além disso, nenhuma letra se repete.

Assim, podemos colocar o número 2 em evidência e colocar entre parênteses o resultado da divisão dos coeficientes por dois. A expressão dessa fatoração ficará desta forma:

14x + 8y – 2z = 2 (7x + 4y – z)

  1. Fatore 4a2b – a2 + 7a3c

Neste caso, não existe nenhum número em comum na expressão, porém se você observar atentamente, encontrará que a2  é um fator comum, que se repete em todos os termos, dessa forma, podemos coloca-lo em evidência. Vamos dividir, então, cada termo por a²:

4a2 b / a2 = 4a2 – 2 b = 4b

a2 / a2 = 1

7a3c / a2 = 7a3 – 2 c = 7ac

Assim, colocamos o termo comum em evidência e entre parênteses os resultados das divisões:

4a2b – a2 + 7a3c = a² (4b – 1 + 7ac)

Entenda mais no vídeo abaixo:

 

Fatoração por Agrupamento

A ferramenta de agrupamento é utilizada quando não existe nenhum fator comum nos termos do polinômio. Nestes casos, identificamos os termos que podem ser agrupados por meio de fatores comuns, assim, colocamos em evidência os fatores comuns dos agrupamentos. Veja alguns exemplos:

  1. Fatore o polinômio dx + 8ex + dy + 8ey

Os termos mx e 8nx tem como fator comum a letra x e os termos my e 8ny tem como fator comum a letra y. Dessa forma colocamos os termos x e y em evidência:

x (d +8e) + y ( d +8e)

Podemos observar que o termo 8e se faz presente nas duas expressões, então, o colocamos em evidência.

dx + 8ex + dy + 8ey = (x + y) (d + 8e)

Fatoração Trinômio quadrado perfeito

Os trinômios são polinômios que apresentam três termos, como exemplos as seguintes expressões a2 + 2ab + b2 e a2 – 2ab + b2.

Essas duas expressões podem ser simplificadas pelo seguinte produto notável:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2  que pode ser denominado de produto da soma de dois termos

a2 – 2ab + b=  (a – b)2  que pode ser denominado quadrado da diferença de dois termos

Para você identificar um trinômio é quadrado perfeito, se faz necessário realizar os seguintes passos, primeiramente você deve calcular a raiz quadrada dos termos que estão ao quadrado; depois você deve multiplicar os valores encontrados por dois, e por último, confrontar o valor encontrado com o termo que não estão ao quadrado, se esses valores forem iguais, então, o polinômio é um quadrado perfeito.

Veja o seguinte exemplo:

Fatore o polinômio:  x2 + 6x + 9

Primeiramente, você deve testar se o polinômio é quadrado perfeito, para tanto confirme se os termos ao quadrado apresentam raízes quadradas:

√x2 = x e √9 = 3

Multiplicando 3 e x por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

Veja que o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, sendo assim, este polinômio é quadrado perfeito.

Podemos então montar a seguinte fatoração:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Diferença de dois quadrados

Para determinar a fatoração de polinômios com a seguinte característica: a2 – b2, agora que você já aprendeu sobre produto notável, podemos usá-lo na soma pela diferença. Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

Então para efetuar a fatoração, você deve calcular a raiz quadrada dos dois termos e depois escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores. Veja o seguinte exemplo:

Fatorar o binômio 4x2 – 16.

Como visto anteriormente, primeiramente, você deve encontrar a raiz quadrada dos termos da expressão:

√4x2 = 2x e √16 = 4

Encontradas as raízes quadradas, agora você deve escrever essas raízes como produto da soma pela diferença:

4x2 – 16 = (2x + 4) . (2x – 4)

Fatoração Cubo perfeito

Lembrando-se do trinômio quadrado perfeito, você entenderá mais facilmente sobre o cubo perfeito, pois apresenta a mesma lógica do trinômio.

Os polinômios do tipo: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 podem ser escritos pelos seguintes produtos notáveis: (a + b)3 ou (a – b)3.

Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Para fatorar polinômios desse tipo você deve calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo, como no quadrado perfeito e, depois, se os termos tiverem raiz cúbica, confirmar que o polinômio é cubo perfeito. Em caso afirmativo, você deve, então, elevar ao cubo a soma ou subtração os valores das raízes cúbicas encontradas. Veja os exemplos:

Exemplos de fatoração cubo perfeito

  1. a) Fatore o seguinte polinômio: x3+ 6x2+ 12x + 8

Como dito anteriormente, você deve primeiramente calcular a raiz cúbica dos termos que estão ao cubo:

3√ x3 = x e 3√ 8 = 2

Agora confirme se é um cubo perfeito:

3 . x2 . 2 = 6x2

3 . x . 22 = 12x

Observe que os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio que não estão ao cubo, portanto, o polinômio é um cubo perfeito.

Sendo assim, a fatoração será deste polinômio será:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

  1. b) Fatore o seguinte polinômio: a3– 9a2+ 27a – 27

Você deve primeiramente calcular a raiz cúbica dos termos que estão ao cubo:

3√ a3 = a e 3√ – 27 = – 3

Agora confirme se é um cubo perfeito:

3 . a2 . (- 3) = – 9a2

3 . a . (- 3)2 = 27a

Observe que os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio que não estão ao cubo, portanto, então é um cubo perfeito.

Sendo assim, a fatoração será deste polinômio será:

a3 – 9a2 + 27a – 27 = (a – 3)3

Espero que este artigo tenha te ajudado nos seus estudos sobre FATORAÇÃO.

Bons estudos!

Fatoração de Polinômios, por agrupamento, tipos e exercicios
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