Como calcular MDC (Máximo Divisor Comum)

O Máximo Divisor Comum, ou simplesmente MDC, é o método que pretende descobrir qual é o maior divisor inteiro comum a dois ou mais números inteiros. Logo em seguida você verá como é fácil calcular MDC.

Por exemplo, o Máximo Divisor Comum (MDC) de 16 e 36 é o número 4, e isso é possível de saber por meio do alinhamento MDC 16, 36 = 8.

Em outro exemplo, temos que o MDC de 30, 54 e 72 é o número 6, o que é percebido pelo alinhamento MDC 30, 54, 72 = 6.

Como calcular MDC

Existe uma regra geral na Matemática para calcular MDC de dois ou mais números.

O método mais utilizado para calcular MDC de dois ou mais números, assim como também acontece com o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC), envolve a decomposição primária de cada um dos números citados na proposta de cálculo.

Assim, para que seja possível calcular o MDC de 30, 54 e 72 que tem como resultado 6, os passos a serem seguidos são os seguintes:

Primeiro passo

Primeiro, deve ser realizada a decomposição primária de cada um desses números, como está apresentado a seguir:

30 = 21 ∙ 31∙ 51
36 = 22 ∙ 32
72 = 23 ∙ 32

Segundo passo

O segundo passo a ser feito no cálculo envolve multiplicar os fatores comuns que são elevados à menor potência com que cada um dos números aparece nas fatorações.

Dessa forma, encontra-se o MDC proposto a partir do seguinte cálculo:

MDC 30, 36, 72 = 21 ∙ 31 = 6

mdc 30,36,72

 

 

 

 

Método prático para calcular MDC de dois ou mais números

Há outro método mais prático para que possa calcular MDC de dois ou mais números.

Este procedimento segue a seguinte sequência:

Primeiro, os três números devem ser alinhados: 30, 36 e 72, e começa-se o cálculo dividindo todos os números que podem ser divididos pelo primeiro número primo, o número 2.

O mesmo procedimento apresentado acima deve ser repetido com o próximo número primo que possa dividir os três quocientes resultantes da divisão pelo número 2.

O procedimento em questão deve continuar a ser repetido pelos linhas seguintes até que não existam mais números primos pelos quais os números do cálculo podem ser divididos.

Por último, deve-se multiplicar todos os fatores primos da coluna da direita, chegando enfim ao MDC procurado.

Veja o cálculo a seguir:

MDC 30, 36, 72 = 2 ∙ 3 = 6

A seguir, apresentamos uma definição de um algoritmo que é bastante utilizado para o calcular MDC entre dois números.

calcular mdc

O Algoritmo de Euclides

 Para a Matemática, o Algoritmo de Euclides trata-se de um método bastante simples e eficiente para encontrar o Máximo Divisor Comum (o MDC) entre dois ou mais números inteiros que são diferentes de zero.

O Algoritmo de Euclides é um dos algoritmos mais antigos da Matemática e é conhecido desde os anos 300 a.C.

Esse algoritmo em específico não exige que seja realizado nenhum processo de fatoração, procedimento comum na maior parte dos cálculos de MDC.

A definição mais básica de Máximo Divisor Comum estabelece que o MDC de dois números inteiros é o maior número inteiro que é capaz de dividir ambos sem deixar nenhum resto.

Porém, o algoritmo de Euclides é baseado em um princípio original: o de que o MDC não varia se o menor número for subtraído do número maior.

Por exemplo, se o número 21 é o MDC de 252 e 105, conforme vemos em 252 = 21 × 12 e 105 = 21 × 5, uma vez que 252 − 105 corresponde a 147, o MDC de 147 e 105 também é, portanto, 21.

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