Análise combinatória: Arranjo e permutação simples

Análise combinatória: o que é, arranjo, combinação e permutação simples

Na análise combinatória há um conjunto de procedimentos que permitem que grupos diferentes sejam construídos a partir de uma quantidade finita de elementos. Nesses grupos é feita a análise tanto de combinações quanto de possibilidades dentro de um conjunto de elementos. É por essa razão que ela é muito utilizada para realiza estudos sobre lógica e probabilidade.

O que é análise combinatória

Na análise combinatória são realizados cálculos onde são formados grupos que possuem relação com a contagem. Assim é feita uma análise tanto das combinações quanto das possibilidades possíveis existentes num conjunto de elementos.

Por exemplo, imagine que uma mulher possui quatro vestidos, cinco shorts, dois casacos e dois pares de sapatos. Pensando que todas essas peças se combinam de quantas formas diferentes ela pode se vestir?

Nesse caso, como a ordem das peças não importa e teremos de fazer agrupamentos de todas essas peças é preciso utilizar os conceitos de combinação simples. Mas se a ordem importasse seria necessário fazer uso da permutação simples. A seguir vamos entender um pouco mais sobre cada uma delas.

Arranjo simples

Quando se trata de arranjos os agrupamentos são realizados, mas seguem para isso é preciso seguir a natureza e ordem dos elementos. Para isso utiliza-se a seguinte expressão:

A p,n = n!

(n-p)!

Vamos tomar como exemplo para esse caso as eleições. Vamos que supor que existem 20 vereadores que estão concorrendo a 2 vagas. Assim, de quantas formas diferentes essa escolha pode ser feita? Nesse caso, a ordem importa, pois o resultado final pode ser alterado por causa disso.

A = n!

(n-p)!

A = 20!

(20-2)!

A = 20! = 20x19x18! = 380

18!            18!

Ou seja, pode-se obter 380 formas diferentes de fazer esse arranjo.

Combinação simples

Dentro da análise combinatória há a combinação simples. Nesse caso, os elementos de determinado grupo são agrupados em subconjuntos sem que a ordem dos mesmos seja considerada na sua formação. Por exemplo, temos o subconjunto {B, A} e {A, B} que possuem elementos iguais e que devem ser considerados apenas uma vez quando for feita a contagem de quantas combinações é possível com os mesmos.

Para conseguir encontrar a quantidade de combinações simples possíveis em um conjunto é utilizada a seguinte fórmula:

C (n,p) = n!p! x (n-p)!

Onde n representa a quantidade de elementos existentes no conjunto e p a quantidade de elementos do subconjunto.

Por exemplo: Temos o conjunto J que é formado pelos seguintes elementos: A, B, C, D. Utilizando a combinação simples encontre a quantidade de subconjuntos com 2 elementos é possível obter.

Sabemos que o conjunto J é composto por 4 elementos e que a quantidade de elementos que irá compor os subconjuntos deve ser 2. Assim temos que n é igual a 4 e p é igual a 2.Análise combinatória

Utilizando a fórmula da combinação simples temos:

C (n,p) = n!p! x (n-p)!

C (4,2) = 4!

2! x (4-2)!

C (4,2) = 24

2 x 2

C (4,2) = 24 = 6

4

Isso quer dizer que se pegarmos o conjunto J e formarmos subconjuntos com 2 elementos conseguiremos formar 6.

Permutação simples

As permutações tratam-se de agrupamentos ordenados onde o número de elementos é igual a quantidade de elementos disponíveis. Para isso utiliza-se a seguinte fórmula:

Pn = n!

Exemplo: Quantos anagramas é possível formar com a palavra ORDEM?

O anagrama se trata de uma frase ou palavra formada utilizando-se todas as letras existentes em outra frase ou palavra. Normalmente o resultado disso não possui significado.

Tomando a palavra ORDEM vemos que ela possui 5 letras diferentes. Então temos de calcular o número das permutações fazendo o cálculo P5. Assim temos que:

P5 = 5!

P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Assim temos que o número de anagramas formados com as letras dessa palavra é igual a 120.

Exercícios de análise combinatória

  1. Um jogo de computador possui uma senha com quatro caracteres numéricos ou alfabéticos, mas o primeiro deles tem de ser alfabético. Assim, quantas senhas é possível obter?

a)364

b)26.36³

c)264

  1. Se uma placa de moto possui 1 vogais que podem se repetir e 3 algarismos diferentes qual a quantidade de motos que podem ser licenciadas?
  2. a) 25000
  3. b) 120000
  4. c) 18000

Resposta

1.B

2.C

Análise combinatória: Arranjo e permutação simples
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