Algoritmo de Briot-Ruffini : Método de resolução de frações polinomiais

O algoritmo de Briot-Ruffini é um método utilizado para resolver frações polinomiais. O nome é em referência a um matemático francês Briot e um matemático italiano Ruffini. Ambos contribuíram imensamente para a matemática e parte de suas contribuições resultaram no algoritmo de Briot-Ruffini.

Algoritmo de Briot-Ruffini, por vezes denominado apenas como regra de Ruffini, é um método de resolução de frações polinomiais, criado por Paolo Ruffini. Esse algoritmo consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio por um binômio. (Wikipédia)

Compreendendo o que são monômios, binômios e polinômios

Algoritmo de Briot Ruffini

É interessante destacar que só é basicamente um método para dividir um polinômio por um binômio. Está com dúvida o que é binômio e polinômio? Fique tranquilo que vamos apresentar. Monômios são um composto por um número desconhecido multiplicado por uma incógnita.

Sendo assim, são monômios:

X;                                                                        2U;                                                                                       8V;

Os binômios consistem da soma ou subtração de dois monômios:

X + 2Y                                                              2U + 3X;                                                                              8V + 5B;

A adição ou subtração sucessiva de monômios resultam em polinômios:

(II) 2U + 3X + B;

(III) 8V2 + 5B + 234C;

O número que multiplica a variável recebe o nome de coeficiente. O maior número em que a variável está elevada indica a ordem do polinômio. Assim em (I) temos um polinômio de ordem 5, em (II) um polinômio de ordem 1 e em (III) um polinômio de ordem 2. Com o conceito de polinômio compreendido podemos prosseguir para aprender como usar o algoritmo de Briot-Ruffini.

Aprendendo o algoritmo de Briot-Ruffini

Considere que temos um polinômio P(X) que só depende de X e um binômio de grau 1 que também só depende de X e chamaremos de Q(X).

Vamos para o primeiro exemplo com P(X) = 2X3 – 3X2 – 5X + 1 e Q(X)= X-3. Para facilitar explicação denominamos o termo que multiplica a incógnita de A e o termo cujo grau da incógnita é 0 de B. Assim, A=1 e B=3. Para P(X) denominaremos p1, p2, p3 e assim sucessivamente de acordo com a ordem do polinômio. Assim p1=2, p2=-3, p3=-5 e p4=1.

Note que nosso polinômio é tem grau 3 e nosso binômio grau 1.

p1 p2 p3 p4
-B -B . p1 -B . R1 -B . R2
p1 R1 = -B . p1 + p2 R2=-B . R1 + p3 R3=-B . R2 + p4

Preenchendo a tabela, temos:

2 -3 -5 1
3

Vamos preenchendo passo a passo.

Passo I)

2 -3 -5 1
3
2

Passo II)

2 -3 -5 1
3 6
2 3

Passo III)

2 -3 -5 1
3 6 9
2 3 4

Passo IV)

2 -3 -5 1
3 6 9 12
2 3 4 13

Por fim o resultado da nossa divisão vamos chamar de D(X). Assim nosso D(X)=2X2 + 3X + 4X. O resto é igual ao último que é 13. Como podemos ver é um método relativamente longo para dividir um polinômio por um binômio.

É importante que treine bastante, pois muitos vestibulares cobram que encontre o valor da divisão ou valor do resto ou, ainda, ambos deles. Para isso é necessário prática e para isso separamos alguns exemplos (com resultados no final) para que possa colocar em prática o que aprendeu.

Exercícios sobre algoritmo de Briot-Ruffini

  1. I) P(X) = X + 3 e Q(X) = x+3
  2. II) P(X) = 4X + 12 e Q(X) = x+3

III)  P(X) = 4X + 18 e Q(X) = x+3

  1. IV) P(X) = X2 + 3X e Q(X) = x+3
  2. V) P(X) = X2 + 3X + 7 e Q(X) = x+3
  3. VI) P(X) = 3X4 + 5x3 – 11x^2 + 2x -3 e Q(X) = x+3

Respostas

  1. I) D(X) = 1 e resto 0
  2. II) D(X) = 4 e resto 0

III) D(X) = 4 e resto 6

  1. IV) D(X) = X e resto 0.
  2. IV) D(X) = X e resto 7.
  3. VI) D(X) = 3X3 – 4X2 + X -1 e resto 0
Algoritmo de Briot-Ruffini : Método de resolução de frações polinomiais
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